os códigos de la Tora se han hecho
bastante populares en los últimos
meses debido al interés que demos-
traron los medios de comunicación
por la publicación del libro de Michael
Drosnin [Drosnin, 1997], que en poco tiem-
po logró colocarse el primero en las listas
de libros más vendidos simultáneamente en
Nueva York,
Londres, París
y Roma.
1
Esta-
ba pensando en
hacer un es-
tudio sobre los
cuestionables
usos de la cien-
cia y la pseu-
dociencia en la
comunidad or-
todoxa judía
cuando esta ex-
plosión crista-
lizó mi decisión
de examinar
cuidadosamen-
te los códigos, y
centrarme úni-
camente en
ellos. En estas
líneas, hablaré
principalmente
del trabajo rea-
lizado por el
grupo israelí
que incluye al
m a t e m á t i c o
Eliyahu Rips,
catedrático a la Universidad Hebrea, más
que de las dudosas afirmaciones de
Drosnin.
Mi objetivo es explicar con cierto deteni-
miento varios ejemplos de los códigos, y
exponer en un lenguaje llano tanto algu-
nos de los asuntos matemáticos generales
como algunos detallados análisis del méto-
do. Este estudio me ha llevado a creer que
hay poderosas razones para dudar de la afir-
mación de que existen códigos secretos en
la Tora del tipo estudiado por estos gru-
pos.
2
Ya que la publicidad dada a estos có-
digos por algunos de sus proponentes ha
recibido más atención dentro de la comu-
nidad ortodoxo judío de la que realmente
merecía, utilizaré las aseveraciones de una
de estas organizaciones, expuestas en su
página de Internet, para poner de manifiesto
las afirmaciones que necesitan aclararse.
El fenómeno de la comunicación de ma-
sas es una maravilla de nuestra época, y
mi respeto por los profesionales de la co-
municación es enorme. Mi preocupación so-
bre algunas de las afirmaciones usadas por
ciertos grupos ortodoxos no debe ser inter-
pretada como nada más que un comenta-
rio sobre tales hechos particulares. Creo que
se han sobredimensionado algunas ideas
tanto para el potencial baalei
tshuvah
3
como para la comunidad ortodoxa
en su conjunto, y pienso que es importante
poner las cosas en claro. Especialmente,
porque ha habido informaciones sobre el
hecho de que estos códigos han sido un mé-
todo efectivo para acercar a algunas perso-
nas al Yiddishkeit,
4
pero también otras res-
pecto a personas que se han sentido mo-
lestas porque algo así se haya presentado
como ciencia.
El judaísmo de la Tora tiene tanta rique-
za que ofrecer que espero que quienes usan
los códigos para acercar a la gente a la Tora
Los códigos de la Tora:
una visión escéptica
No sólo algunas de las afirmaciones con que se rodean son infundadas,
sino que varios de los ejemplos en que se basan están muy lejos
de ser convincentes si se examinan cuidadosamente
BARRY SIMON
L
Figura 1.
1
El libro fue publicado en otoño de 1997 en Es-
paña por la editorial Planeta. (N. del T.)
2
Tora: la Ley, el libro de la Ley. Para los judíos,
la Tora
−
a veces Torá o Toráh, del hebreo ley
−
incorpora los cinco libros de la Biblia (el Anti-
guo Testamento de los cristianos), que se consi-
deran la ley escrita, además del Talmud, el con-
junto de normas que rigen su vida. (N. del T.)
3
Baalei tshuvah: el que quiere hacer peniten-
cia, penitente. Por extensión, aquéllos que se
acercan al estudio de las escrituras sagradas
con devoción. (N. del T.)
4
Yiddishkeit: la comunidad de los creyentes ju-
díos. (N. del T.)
26
(Junio 1998) el escéptico
reconsideren la conveniencia de utilizar en
nombre de la ciencia ideas cuyo fundamento
científico es tan pobre, especialmente por-
que estas ideas son completamente
periféricas a los valores y a la práctica ju-
daicos. Aunque estoy en desacuerdo con
ciertas tácticas, entiendo que quienes las
usan están trabajando lshem shomayim
5
.
Ejemplos de los códigos
Todos los códigos implican búsquedas de
lo que se ha dado en llamar SLE
−
Secuen-
cias de Letras Equidistantes
−
6
, palabras for-
madas por letras separadas por el mismo
número de otras letras entre ellas. Es de-
cir, uno toma toda la Tora, o un libro espe-
cífico, elimina los espacios entre palabras y
busca nuevas palabras en la tira resultan-
te tomando, por ejemplo, cada cuarta letra
en vez de letras sucesivas. Los espacios con-
siderados pueden ser bastante grandes: por
ejemplo, la ya famosa localización del nom-
bre de Rabin usa un espaciado de 4.772 le-
tras, de manera que hay huecos de 4.771
letras no usadas entre aquéllas que forman
el nombre.
7
Quienes escriben sobre este tema pre-
sentan a menudo las SLE poniendo a la vis-
ta del lector la sección de la Tora que con-
tiene la secuencia marcando líneas según
el espaciado de la SLE, o con una longitud
de unas cuantas letras más corta o más lar-
ga que este espaciado. Con ello, la SLE apa-
rece marcada en vertical, leída hacia arriba
o hacia abajo, o bien como una diagonal
clara. (Véase la Figura 1, que muestra sólo
parte de las líneas largas usadas horizon-
talmente.) No perdamos de vista que este
método de representación no tiene ningu-
na significación especial, excepto porque
puede hacer olvidar los enormes espacios
que se usan a veces. Por otro lado, uno
puede buscar una SLE tanto hacia delante
como hacia atrás; de hecho, las dos secuen-
cias en la Figura 1 son inversas.
Hay que fijarse en que el número de SLE
es enormemente grande. El número de le-
tras en el Chumash
8
es de 304.805, lo que
significa que el número de SLE con espa-
ciados menores o iguales a 5.000, hacia de-
lante o hacia atrás, es de ¡unos 3.000 mi-
llones! Por ello, si uno busca una SLE de
una palabra relativamente corta, no es que
se esté buscando una aguja en un pajar,
sino una brizna de paja.
Discutiré tres tipos de ejemplos: uno ge-
nérico y dos específicos.
el escéptico (Junio 1998)
27
•
Los ejemplos más sencillos de los códi-
gos se basan bien en que alguna pala-
bra aparezca más frecuentemente de lo
que uno podría esperar, bien en que dos
o más palabras aparezcan cerca unas
de otras. Por ejemplo, Chanukah y
Hashmonai (el nombre de la dinastía
fundada por los Macabeos) están cerca
en la Figura 1. Algunos de estos ejem-
plos resultan encantadores: así, los
nombres de varios árboles se encuen-
tran cerca de la parsha
9
donde a
Avrohomse
10
se le promete la tierra de
Israel. Llamaré a este tipo de conexio-
nes pares simples de palabras. Puesto
que muchas palabras van a aparecer
como SLE a menudo en el Chumash,
cuando uno busca cúmulos de pala-
bras, la actitud más responsable por
parte de los investigadores es limitarse
a SLE con el mínimo espaciado entre
letras. Esto es algo que a veces se le
ovlvida a Drosnin. Y que también ex-
plica por qué Chanukah aparece con la
letra hay delante en la Figura 1. La ocu-
rrencia de la palabra sin la hay es una
SLE, pero no de espaciado mínimo.
•
Se ha dedicado mucha atención al se-
gundo ejemplo: un análisis estadístico
sofisticado hecho sobre una lista de
rabinos en relación con sus fechas de
nacimiento o muerte. Se ha usado a
menudo como prueba de que los códi-
gos no se pueden explicar por casuali-
dad aleatoria. El trabajo fue publicado
por D. Witztum, E. Rips e Y. Rosenberg
en la revista Statistical Science [Witztum,
Rips y Rosenberg, 1994]. Lo llamo el
ejemplo de los rabinos famosos.
•
En tercer lugar, hay una prepublica-
ción que me propocionó el profesor Rips
en la que encuentra una correlación
entre los nombres de setenta naciones
(goyim )
11
en el Parshat Noach
12
y las lo-
calizaciones de frases específicas en las
que aparecen los nombres de dichas na-
ciones [Witztum, Rips y Rosenberg,
1997]. Es decir, busca correlaciones
9
Parsha: división análoga a capítulo que se con-
sidera para cada libro de la Tora. (N.del T.)
10
Avrohomse: Abraham (se mantienen los nom-
bres en hebreo, siguiendo al original) (N. del T.)
11
Goyim: gentiles, no judíos. (N. del T.)
12
Parshat Noach: sección del Génesis referida a
Noé (el diluvio universal). (N.del T.)
5
Lshem shomayim: en nombre del Cielo, de
acuerdo con la Ley. (N. del T.)
6
En el original: ELS -Equal Letter Sequences-.
(N. del T.)
7
Isaac Rabin, primer ministro israelí asesinado
en 1995. (N. del T.)
8
Chumash: el texto de la Tora. (N. del T.)
Si uno busca en la Tora una SLE de
una palabra relativamente corta, no es
que se esté buscando una aguja en
un pajar, sino una brizna de paja
entre, por ejemplo, la nación de
Magog
13
en el texto original y cuatro fra-
ses: la gente de Magog, la tierra de
Magog, el idioma de Magog y los textos
de Magog. El nombre del país en el tex-
to real es Noach. Las frases se buscan
como SLE con espaciados de dos o más
letras. Se utiliza el método estadístico
para medir la aleatoriedad [Witztum,
Rips y Rosenberg, 1994]. Evidentemen-
te, se buscan frases en hebreo (así, Am
Magog para el pueblo de Magog). Si-
guiendo a Witztum et al, lo denominaré
el ejemplo de las naciones.
Por resumir, considero que los ejemplos
de pares simples de palabras son un juego
de mesa tan incontrolado que no pueden
ser tomados seriamente, por las razones que
explicaré más adelante. También argumen-
taré por qué encuentro al ejemplo de las
naciones nada convincente. Y he encontra-
do numerosas razones por las que debemos
ser escépticos acerca del ejemplo de los ra-
binos famosos, que dista mucho de ser tan
sorprendente.
Afirmaciones
sobredimensionadas
Los códigos, con especial énfasis en el artí-
culo sobre los rabinos famosos, han sido
utilizados por diversas organizaciones. A
este respecto, se han hecho ciertas afirma-
ciones que se aprovechan de la manera en
que el público en general se maravilla de la
ciencia, y que muestran la falta de compren-
sión del método de la investigación científi-
ca. Para ser más explícito, he aquí algunas
de las afirma-
ciones que se
hacen (las citas
en esta sección
provienen de la
página web de
una empresa de
comunicación
de masas del 18
de septiembre
de 1997):
1. La publicación de un artículo en una
revista científica es garantía de su vali-
dez:
Las revistas profesionales científi-
cas y matemáticas consultan con un
panel de expertos mundiales para ase-
gurarse de que no se publique un artí-
culo que contenga fallos científicos o
matemáticos
.
2. Los códigos han sido demostrados cien-
tíficamente:
Esto puede demostrarse
científicamente
.
3. La comunidad científica en general co-
incide en que Witztum et al han probado
28
(Junio 1998) el escéptico
que el fenómeno de los códigos es real:
Desde su publicación hace unos dos
años y medio, estadísticos de talla mun-
dial y expertos en la Biblia han reprodu-
cido y verificado sus resultados
. Tam-
bién se hace una cita positiva parcial,
no íntegra
−
el fenómeno de los códigos
bíblicos es real
−
, del anterior director
del Departamento de Matemáticas de la
Universidad de Harvard.
Examinemos estas afirmaciones. En pri-
mer lugar, consideremos la idea de que pu-
blicar en una revista científica es una espe-
cie de certificado de kashrut
14
que asegura
la validez de un resultado. He sido editor
de una de las revistas más importantes de
mi especialidad durante unos veinte años
y estoy orgulloso del alto nivel de mi sec-
ción, pero no osaría comer en un restau-
rante cuyos estándares de kashrut fueran
sólo tan altos como los de mi revista. Los
árbitros (¡y los editores!) cometen errores y
normalmente conceden a su propia inves-
tigación y a otras preocupaciones una prio-
ridad mucho mayor que a su labor como
revisores de artículos ajenos. Un eminente
matemático que conozco suele decir:
Mi
trabajo como árbitro en revistas no es co-
rregir al autor: ésa es su responsabilidad.
Se supone que debo comprobar que su re-
sultado es creíble y suficientemente impor-
tante como para que se publique
.
Esto es cierto no sólo en general, sino
también en este caso en particular. Robert
Kass, del Carnegie Mellon, el responsable
de aceptar los artículos en Statistical
Science, es citado por The New York Times
−
me lo confirmó por correo electrónico
−
di-
ciendo sobre los
artículos que a-
ceptan para su
revista:
Espe-
ramos que el
material que
contienen sea
correcto, pero
también inten-
tamos publicar
artículos que re-
sulten divertidos para muchos estadísticos
.
Respecto a la afirmación de que el artí-
culo de Witztum et al es una prueba cientí-
fica de que existen los códigos de la Tora,
hemos de decir que simplemente no es cien-
tífica. Normalmente, una afirmación cien-
tífica puede, al menos en principio, ser fal-
seada. Pero no queda claro lo que los pro-
ponentes de los códigos podrían considerar
como una falsación. Si uno buscara, diga-
mos, rebbetzins
15
famosas en el texto y no
pudiera encontrarlas, los proponentes di-
13
Magog: nombre que en la Tora se da a los
pueblos al Noreste de Asia Menor, sobre todo a
los escitas, y en sentido figurado a los enemigos
del pueblo de Dios. (N. del T.)
Los ejemplos de pares simples de
palabras son un juego de mesa tan
incontrolado que no pueden
ser tomados seriamente
14
Kashrut: conjunto de leyes judías sobre la co-
rrecta preparación de los alimentos. Un judío
observante de la religión consumirá sólo pro-
ductos que lleven un sello oficial, otorgado por
un rabino con autorización, que certifique que
cumple la kashrut. (N. del T.)
el escéptico (Junio 1998)
29
Baste decir que no sólo no es verdad que
haya un apoyo generalizado en la comuni-
dad científica a la validez de estas in-
vestigaciones, sino que la abrumadora ma-
yoría de científicos competentes que ha es-
tudiado el tema tiene la opinión contraria.
Probabilidades a priori y
a posteriori
Lance una moneda treinta veces al aire y
escriba la secuencia exacta de caras y cru-
ces que haya obtenido. La probabilidad de
encontrar esa secuencia concreta es menos
de una entre mil millones, pero lo ha con-
seguido. Si alguien intenta una serie de en-
sayos diferentes buscando alguna cosa y
sólo informa de los éxitos, los cálculos de
las probabilidades a priori de tales sucesos
no tienen ningún sentido.
En su autobiografía, Eugene Wigner, u-
no de los principales físicos teóricos de este
siglo, narra una clase que tuvo con Einstein
en 1928 [Wigner y Szanton, 1992]:
Nos dijo una vez:
−
La vida es finita. El tiempo es infini-
to. La probabilidad de que hoy yo esté
vivo es cero. Y, a pesar de ello, yo estoy
vivo. ¿Cómo es eso?
Ninguno de sus estudiantes contes-
tó. Tras una pausa, Einsten dijo:
−
Bueno, es que a posteriori uno no
debería preguntar por probabilidades...
rían que en el texto no está todo. ¿Cuántos
ejemplos de códigos no hallados debería-
mos aportar para invalidar la hipótesis? ¿Y
qué tipo de ejemplos?
Planteé explícitamente esta cuestión al
profesor Rips, quien admitió su interés so-
bre el asunto, pero reconoció carecer de res-
puesta. Si no podemos realizar una falsa-
ción, entonces la hipótesis no es científica.
Esto no quiere decir que el análisis esta-
dístico no sea una herramienta válida para
analizar lo que podría estar ocurriendo, sino
que sin la posibilidad de falsación de la hi-
pótesis, ésta se halla fuera de discusión
científica tal como la comprendemos.
A menudo, se ha utilizado públicamente
una carta de aprobación de cuatro distin-
guidos matemáticos: Joseph Bernstein, an-
tes en Harvard y ahora en la Universidad
de Tel Aviv; Hillel Furstenberg, de la Univer-
sidad Hebrea; David Kazhdan, de Harvard,
e Ilya Piatestski-Shapiro, delas universida-
des de Tel Aviv y Yale). Tres de ellos son
judíos ortodoxos (me costaría poder encon-
trar un conjunto diferente de matemáticos
notables y ortodoxos...). En cualquier caso,
su carta está cuidadosamente escrita, de
manera que no afirmen nada más que en-
cuentran el experimento de los rabinos fa-
mosos interesante, y que merece la pena
estudiarlo más detenidamente. El propio
Rips me comentó que no cree que ninguno
de estos matemáticos estuviera convencido
de su validez, lo que he podido comprobar
consultando a dos de ellos a quienes co-
nozco personalmente. Más aún, la respues-
ta de Kazhdan a la presentación que se
hacía de su posición sobre el tema en la
mencionada web
−
Kazhdan era entonces
jefe del Departamento de Matemáticas de
Harvard
−
fue:
Lamento ver mi postura pre-
sentada de manera tan distorsionada
.
He discutido sobre los códigos con mu-
chos de los mejores matemáticos que son
judíos ortodoxos: hay un amplio espectro
en sus respuestas. Shlomo Sternberg, ma-
temático ortodoxo de Harvard y rav
16
, ha
escrito un comentario extremadamente ne-
gativo sobre el tema en Bible Review [Stern-
berg, 1997]. Me he centrado en la respues-
ta de matemáticos ortodoxos no porque e-
xista una visión diferente en la comunidad
matemática en su conjunto
−
por el contra-
rio, la opinión generalizada entre los mate-
máticos es más negativa
−,
sino porque hay
una asunción entre los legos frum
17
con los
que he hablado de que solamente los cientí-
ficos ateos podrían dudar de los códigos.
Michael Drosnin afirma haber encontrado en la Biblia SLE que
predicen la Segunda Guerra Mundial, el asesinato de Isaac Rabin
e incluso el fin del mundo para ¡1995 ó 1996!
Fotomontaje de Javier Armentia
15
Rebbetzin: esposa del rabino. (N. del T.)
16
Rav: un hombre de estatus y prestigio en la
comunidad judía, un gran hombre muy respeta-
do. (N. del T.)
17
Frum: adjetivo yidish que, aplicado a una per-
sona, significa estrictamente religioso, que cum-
ple con las leyes al pie de la letra. Por exten-
sión, judío ortodoxo. (N. del T.)
Aunque es cierto que ni la ciencia mo-
derna ni la tradición judía estarían de acuer-
do con la afirmación de Einstein de que el
tiempo es infinito, lo básico de su afirmación
sigue siendo correcto: es demasiado peli-
groso depender de las probabilidades a
posteriori.
El hecho de que uno no pueda basarse
en este tipo de probabili-
dades permite sospechar
de todos los ejemplos de
pares simples: demasiado
susceptibles a haberles
sucedido algo análogo a
eso de que uno tira una fle-
cha y luego dibuja una
diana alrededor del lugar
donde ha ido a dar. No só-
lo hay muchas combina-
ciones potenciales; ade-
más, dada la naturaleza
del idioma hebreo, hay
muchas variantes. Por
ejemplo en la Gracia tras
las comidas, Chanukah se
deletrea jet-nun-kof-he, con
el sonido ooo tomado de un
kibbuts (tres puntos bajo
la línea) asociado a la le-
tra nun. En la Figura 1, se
puede ver que en este
caso, se usa una variante,
con el sonido ooo obtenido
de una shuruk (la vocal
que parece una uau). Lue-
go está el asunto de la hay
extra delante de Chanukah
que antes había mencio-
nado. Tanto la tradición
como el lenguaje hebreo
son muy ricos, con lo que
es fácil encontrarse mu-
chas combinaciones en un
texto tan largo como el li-
bro del Chumash. Sin
duda, es posible encontrar
combinaciones similares
en cualquier otro texto.
Todo ello implica que
estos pares simples son
b á s i c a m e n t e
ingeniosidades o juegos
textuales. Se debería ha-
cer hincapié en que no hay una tradición
bien establecida de análisis de los códigos,
como sucede para los principios del análi-
sis haláquico
18
. Hay unos cuantos ejemplos
aislados de personalidades de la Tora que
han usado herramientas como los SLE, pero
30
(Junio 1998) el escéptico
en casos específicos, sin darnos una guía
acerca de su utilización generalizada.
La Gemara
19
nos advierte que incluso los
métodos tradicionales de extraer inferencias
haláquicas del texto pueden conducirnos a
error, salvo que tengamos una meso-
rah
20
definida que nos explique cómo usar-
los. Por ejemplo, no podemos usar por nues-
tra cuenta el método de gezerah shavah (in-
ferencia hecha a partir de la aparición de
palabras idénticas dentro de dos textos di-
ferentes). Sólo lo usamos cuando tenemos
una mesorah específica para tratar un tex-
to dado con ese método.
El uso de un método sin una pauta fir-
me queda expuesto a abusos como los co-
metidos por varios grupos misioneros cris-
tianos para hacer prosélitos entre los ju-
díos. Cualquier interesado en los malos usos
potenciales de los códigos puede acudir a
unos cuantos sitios en Internet donde es-
tán presentes, por ejemplo http://
www.grantjeffrey.com, http://home.cwnet.
com/crm y http://www.yfiles.com/yeshua-
codes.html. Estas páginas ilustran la caja
de Pandora que se ha abierto al usar técni-
cas incontroladas de análisis de la Tora.
Más sobre cálculos
de probabilidad
Hay una manera de describir esto de bus-
car e informar sólo de éxitos que pone de
manifiesto que a veces uno puede encon-
trar así lo que aparentemente son sucesos
extremadamente improbables. Supongamos
que hay un cierto test que tiene una tasa
de éxito de uno entre mil. Entonces, lo eje-
cutamos muchas veces en un ordenador
hasta que obtenemos tres éxitos. Podríamos
estimar que esto nos costaría unos 3.000
intentos. (Si los tests son aleatorios, tras
4.000 intentos, un 80% de las veces habre-
mos encontrado al menos 3 éxitos en la se-
rie.) Ahora, uno podría pensar en ese resul-
tado no como tres éxitos individuales, sino
como un éxito de la prueba de encontrar
los tres precisos éxitos que se han conse-
guido, algo que tiene una probabilidad de
uno entre mil millones.
El ejemplo de las naciones resulta de-
masiado susceptible de haberse producido
de esta manera. Al buscar en los códigos
idioma de Magog, los autores utilizan la pa-
labra safat para idioma, aunque podrían
haber usado el sinónimo lashon. El profe-
sor Rips me dijo que si lo hubieran hecho
así, el efecto habría desaparecido. De igual
manera, han usado am para nación, en vez
de bnei. Más aún, aunque se justifica la elec-
18
Haláquico: relativo a la Halacá, nombre con
que se denomina a la interpretación práctica,
jurídica, de la Misnáh (texto que consiste en una
colección de decisiones sobre la observancia ri-
tual y legal judía que conforma el texto princi-
pal del Talmud). En este sentido, se refiere al
análisis jurídico que se puede extraer del estu-
dio de los textos judaicos. (N. del T.)
Los matemáticos Doron Witztum
y Eliyahu Rips.
Archivo ARP
19
Gemara:: recopilación de comentarios sobre
la Misnáh (ver nota número 18) escrito en ara-
meo; es la segunda parte del Talmud. Gemará
se traduce precisamente como complemento.(N.
del T.)
20
Mesorah: tradición, conjunto de normas acep-
tadas por la tradición. (N. del T.)
el escéptico (Junio 1998)
31
na de los nombres, pero reordenando la de
las fechas de manera que no fueran las co-
rrectas. Hay un enorme número de formas
de reordenar una columna de 32 números
(¡más de 2 seguido de 35 ceros!). Los auto-
res eligieron aleatoriamente 999.999 de es-
tas permutaciones, de manera que junto
con la forma correcta tuvieran un millón de
posibilidades. Entonces, puntuaron cada
posibilidad usando la medida de cercanía
que habían inventado.
Realmente, usaron cuatro diferentes me-
didas de cercanía y en ellas la puntuación
del emparejamiento correcto frente al mi-
llón de posibilidades oscilaba entre 4 y 453;
es decir, la mayoría de las permutaciones
puntuaba menos en su medida de cercanía.
Como comparación, tomaron el comienzo
de la traducción al hebreo de Guerra y paz,
de Tolstoi: el mismo número de caracteres
que el Génesis. Las puntuaciones, en este
caso, oscilaban entre 277.103 y 748.183,
lo que es más o menos consistente con lo
que se esperaría si no hubiera correlaciones
especiales entre nombres y fechas. Así, a
primera vista, son números realmente im-
presionantes.
Hay algunas complica-
ciones con respecto al aná-
lisis que resultan muy sig-
nificativas. En primer lugar,
de lo dicho parecería que
cada uno de los 32 rabinos
tenía un único nombre y
una única fecha. Pero no es
así: no solamente hay dos
fechas (nacimiento y muer-
te), sino que hay diferentes
variantes al deletrear cada
fecha. Sólo usaron mes y día
(pero no año), pero en cada
caso tres diferentes formas
de dar la fecha en hebreo:
sin la bet delante (el equiva-
lente a en el), con una bet
previa al día del mes y con
una bet previa al nombre del
mes. Igualmente, emplea-
ron diferentes maneras de
deletrear los días 15 y 16 de cada mes, debi-
do a los dos formatos usuales para esos nú-
meros. Los autores no usaron las fechas que
aparecen en la Encyclopedia, sino otras que
ellos mismos habían determinado a partir
de su propia investigación. No todos los ra-
binos disponían de ambas fechas, e inclu-
so ¡dos no tenían fecha alguna!
Los nombres hebreos utilizados para ca-
El hecho de que este fenómeno se
haya denominado ‘códigos’ significa
que un buscador debe experimentar
para encontrar lo que podría
estar codificado
ción de las frases concretas en el artículo
de Witztum, Rips y Rosenberg de 1997 ape-
lando a algún escrito de Vilna Gaon [Hagra,
sin fecha], existen otras personalidades de
la Tora que han escrito también sobre fra-
ses aplicadas a las naciones (por ejemplo,
Ramban) y que usan frases diferentes a las
aplicadas por Rips, así que escoger el con-
junto de Gaon representa una elección sig-
nificativa.
Hacer ensayos repetidos con un ordena-
dor no está necesariamente asociado con
que alguien esté deliberadamente intentan-
do engañarnos. El mismo hecho de que este
fenómeno se haya denominado códigos sig-
nifica que un buscador debe experimentar
para encontrar lo que podría estar codifica-
do. Los ordenadores actuales permiten en-
sayar miríadas de posibilidades, con lo que
cualquier buscador bienintencionado pue-
de dar con lo lo que parecen ser ocurren-
cias extremadamente raras al realizar mu-
chas pruebas.
El ejemplo de
los rabinos famosos
Los problemas que plantea el ejemplo de
los rabinos famosos son más sutiles y, des-
graciadamente para una discusión no téc-
nica como ésta, implican algunos detalles
del análisis que deberé explicar al menos
parcialmente.
Los autores escogen una lista de 32 rabi-
nos moderadamente famosos. En sus prue-
bas iniciales, habían elegido 34 rabinos muy
conocidos, pero, tras refinar sus métodos
de análisis, afirman, escogieron estos rabi-
nos relativamente famosos
para evitar cualquier acu-
sación de haber ajustado
los tests a sus datos. Para
definir moderadamente fa-
moso han seguido como
criterio que estas personas
tengan un apartado en el
libro Encyclopedia of great
men of Israel con una
extensión de entre 1,5 y 3
columnas de texto
[Margalioth, 1961].
La idea básica era tomar
los nombres de estos 32
grandes hombres y sus fe-
chas de nacimiento y
muerte, y ver cuán cerca se
colocaban las fechas de los
nombres cuando se busca-
ban ambos entre las SLE
en el Génesis. Para hacer
esto, inventaron una medida de la cercanía
(sobre la que volveré en breve), y en esta
medida de cercanía compararon los conjun-
tos correctos de nombres y fechas con otros
emparejamientos incorrectos.
Obtuvieron los emparejamientos correc-
tos colocando los nombres en una colum-
na y las fechas en la segunda. Los inco-
rrectos se obtenían manteniendo la colum-
En Internet se comercializa un
programa de ordenador para bus-
car mensajes ocultos en la Biblia.
Archivo ARP
32
(Junio 1998) el escéptico
puedes conseguir que el análisis muestre
cualquier cosa que quieras.
Sucede que, cuando gente incluso bien
intencionada se empeña en reanalizar los
datos cambiando los métodos, puede llegar
a resultados que no son estadísticamente
válidos.
En el experimento de los rabinos famo-
sos, uno se sorprende de la gran cantidad
de aspectos ad hoc de la metodología, que
afectan tanto a ésta como a la afirmación
de que los test muestran que las parejas de
palabras están cerca. Como he explicado
antes, la cercanía se mide asignando un nú-
mero entre 1 y 125. Un número bajo no sig-
nifica necesariamente que las palabras sean
cercanas en ningún sentido que usted o yo
podríamos entender como cercano. Más
bien, uno compara la cercanía de la SLE
asociada al par con ciertas no-SLE aso-
ciadas al par.
Los matemáticos hablan a menudo de
métodos naturales y objetos naturales.
Una manera de definir la naturalidad es
que si algún otro matemático estudia el
tema en profundidad, debería encontrar
un objeto similar. En este sentido, en-
cuentro el método de asignar la puntua-
ción de distancia antinatural: me refiero
al método completo, que es demasiado
complejo para ser descrito en este texto,
y no sólo al paso final de asignar un nú-
mero entre 1 y 125. El proceso entero in-
corpora una noción de cercanía tan com-
pleja que dudo mucho que ningún otro
matemático que intentara definir la cer-
canía llegara a usar la empleada en el ar-
tículo [Witztum, Rips y Rosenberg, 1994].
Esta misma antinaturalidad me inco-
moda y sugiere que los autores llegaron
a su métrica tras experimentar con una
pequeña parte de los datos, quizás unos
pocos rabinos famosos. Si asumimos esto,
otros aspectos de su análisis darían un
peso indebido a algunas parejas
anómalamente cercanas seleccionadas,
un pequeño sesgo inesperado en el méto-
do que se puede expandir. Quiero poner
énfasis en que si esto hubiera sucedido,
de ello no se desprendería que nadie es-
tuviera intentando engañar deliberada-
mente. Todo lo contrario. Tras hablar con
el profesor Rips, queda claro que él cree
sinceramente en lo que ha escrito. Pero
la misma noción de que uno desarrolle
un método mientras intenta decodificar
algo sugiere que evidentemente es procli-
ve a encontrar cosas codificadas ahí. En
situaciones como ésta, en que los méto-
dos son ad hoc, un pequeño artificio, in-
cluso inadvertido, un sesgo en el método,
puede llegar a tener un efecto dramático.
Errores potenciales en los datos
Hay una serie de aspectos del análisis que
lo hacen extremadamente sensible a los
datos concretos que se han usado. Hay
dos partes en los datos: el texto del Gé-
da rabino incorporan igualmente más de
una posibilidad, dado que los rabinos a ve-
ces son conocidos por los títulos de sus li-
bros (como sucede con el Chofetz Chaim).
Las variantes usadas les fueron proporcio-
nadas por un catedrático de Bar-Ilan. El nú-
mero de nombres de cada rabino varía en-
tre uno y once, y en total los 32 rabinos
tienen más de 100 nombres diferentes.
Para cada rabino, tomaron todos los po-
sibles pares de un nombre y una fecha, con
lo que obtuvieron así varios cientos de em-
parejamientos. Para cada par, asignaban un
número entre 1 y 125 que se supone mide
la cercanía del par de palabras en el texto
sujeto a estudio: cuanto menor es el núme-
ro, más cercanos son los emparejamientos.
Para la puntuación general de cada con-
junto, utilizaban un método que tenía en
cuenta si entre esos varios cientos de pare-
jas hay un número anormalmente grande
de valores pequeños de cercanía. Debemos
hacer notar que el efecto no se debe a todos
los rabinos del conjunto, sino a una peque-
ña fracción
−
entre 5 y 10
−
cuyos pares es-
tán anormalmente cerca.
Es importante destacar también el nú-
mero de elecciones en este proceso, puesto
que cada elección puede ser una fuente de
sesgo inadvertido en el resultado. No sólo
son importantes las elecciones acerca de
qué incluirlas, sino también las de qué no
incluir. Dado que el análisis cuenta el nú-
mero de parejas anormalmente cercanas,
no incluir parejas alejadas mejora el re-
sultado. Además, algunas parejas desecha-
das podrían hacer mejorar la nota de al-
guna de las elecciones permutadas. Los au-
tores eligieron qué formas de la fecha usar
(pues hay más opciones que las tres pre-
sentadas) y la elección de los nombres de
cada rabino no se basó en un criterio que
permita a una persona confirmar indepen-
dientemente las elecciones realizadas.
Errores potenciales en el método
Hay una cita que se atribuye a menudo a
Mark Twain: Hay mentiras, mentiras
puñeteras, y estadísticas. Un estadístico
que conozco que ejerce como consultor de
varias compañías, analizando sus datos, me
contó que cada vez que comienza un pro-
yecto para un nuevo cliente le avisa de que
está dispuesto a discutir la manera en que
va a analizar los datos en detalle antes de
hacerlo. Pero que, una vez haga el análisis,
no estará dispuesto a admitir cambios del
tipo por qué no intentas mirar esto de ésta
o aquélla manera. Porque está convencido
de que si reanalizas todo una y otra vez,
Hay una cita que se atribuye a
menudo a Mark Twain: “Hay mentiras,
mentiras puñeteras, y estadísticas”
nesis y la lista concreta de nombres y fe-
chas empleados para los rabinos.
Con respecto al texto del Génesis,
sabemos que hay diferencias entre el
aceptado actualmente y otros usados en
épocas anteriores. Kiddushin 30A nos
dice que ya no somos expertos en varias
letras vocales opcionales, como yud y vav.
Aunque estas diferencias no afectan al
sentido del texto, pueden modificar los có-
digos significativamente. Añadiendo una
sola letra en la cadena de una SLE, ¡la
elimina por completo!
Una refutación que he oído sobre este
asunto de la imprecisión del texto es que
los resultados podrían haber sido inclu-
so mejores con el texto real. Un
sinsentido. Una puntuación de 4 frente a
un millón no es simplemente buena: es
fantástica. Si el texto original hubiera sido
así de bueno, perturbaciones aleatorias
de los datos habrían estado ligadas a ha-
cer las cosas peores de lo que se observa,
así que nos vemos forzados a una segun-
da refutación.
Ésta argumenta que si estamos bus-
cando la prueba de que Dios colocó los
códigos en el texto, podemos ciertamente
imaginar que Él los colocó no en el texto
inicial, sino en el texto al que Él sabía
que evolucionaría en la era de los orde-
nadores. Debido a la naturaleza ad hoc
del análisis de Witztum, Rips y Rosenberg,
tenemos también que suponer que Dios
escribió la Tora con este análisis especí-
fico en mente, incluyendo las listas con-
cretas de nombres usados en el artículo
de Statistical Science. Se nos conduce así
a un edificio tan complejo que difícilmen-
te podríamos convencer a un escéptico.
Aunque estos asuntos del método
elegido para casar los datos y de la im-
precisión en el texto producen incomodi-
dad al aceptar el análisis, he guardado
para el final
la razón más
p o d e r o s a
para dudar
de él . Tiene
que ver con
la sensibili-
dad del re-
sultado a las
variantes concretas de los nombres de los
rabinos usadas. Debido a que la medida
de cercanía utilizada es tan sensible a
unos pocos valores anómalamente peque-
ños, el resultado depende fuertemente de
la inclusión de esos pocos nombres que
producen esos valores pequeños. Depen-
de no sólo de qué nombres se eligen, sino
también de cuáles se excluyen, pues los
excluidos podrían dar una lista permu-
tada con una mejor puntuación de cer-
canía.
Este asunto se ilustra de manera de-
vastadora en varios trabajos de Bar-Na-
tan y McKay, dos matemáticos que deci-
el escéptico (Junio 1998)
33
dieron analizar el trabajo del grupo de
Rips para ver si se sostenía. Una versión
preliminar de su trabajo sobre estos nom-
bre se puede encontrar en Internet [Bar-
Natan y McKay, sin fecha].
21
Estos
rompecódigos han hecho una lista de
nombres dados a rabinos moderadamente
famosos que difiere en algunas cosas de
la presentada en Statistical Science. En
primer lugar, eliminan a los dos rabinos
sin fechas, pues se podría concluir que
sólo producen ruido en los datos reorde-
nados. En segundo lugar, han eliminado
a un rabino y añadido otro diferente ba-
sándose en que los autores del artículo
de 1994 parecen haber realizado mal sus
cuentas, e incluido un rabino (el que eli-
minan Bar-Natan y McKay) cuya entrada
en la Encyclopedia es ligeramente menor
que la columna y media, y no haber in-
cluido otro
(añadido por
ellos) cuya
referencia es
de la longi-
tud adecua-
da...
De la lista
de versiones
de los nombres en el artículo de 1994,
Bar-Natan y McKay han tomado 51 de-
nominaciones, han cambiado el deletreo
de 4, han eliminado 15 y han añadido
otras 24 alternativas. Para cada una de
estas que han añadido, han incorporado
Barry Simon, a la izquierda, desmonta en este artículo la
supuesta base científica del libro de Michael Drosnin.
Archivo ARP
21
Como suele ser normal, hay una gran canti-
dad de información (y también, como suele pa-
sar, alguna de muy dudosa calidad) en Internet.
Cualquiera que desee explorarla puede encon-
trar enlaces a numerosos comentarios sobre los
códigos en http://www.math.gatech.edu/
~jkatz/Religions/Numerics/. (N. del A.)
Mi conclusión es que hay suficientes
datos como para ser escéptico sobre
esto de los códigos
un argumento basado en datos históri-
cos de por qué no era irrazonable hacer
esa elección. Tras hacer el cambio, repi-
tieron el análisis de Witztum, Rips y
Rosenberg sobre la versión hebrea de Gue-
rra y paz. Y los resultados muestran una
puntuación sumamente baja para este li-
bro, es decir, ¡con esta lista parece que
los rabinos están codificados en el libro
de Tolstoi!
Sin duda se irán produciendo altiso-
nantes discusiones en Internet sobre la
validez de cada uno de los cambios efec-
tuados, pero para mí el punto crucial es-
triba en que Bar-Natan y McKay pueden
hacer esta lista de cambios sencillos y dar
un vuelco completo a los resultados de
Witztum, Rips y Rosenberg, lo que mues-
tra que el ejemplo de los rabinos famosos
es totalmente dependiente de la elección
particular de nombres utilizados, y esto
me hace dudar de la validez del empeño.
Mi conclusión es que hay suficientes
datos como para ser escéptico sobre esto
de los códigos.
22
No sólo algunas de las
afirmaciones con que se rodean son in-
fundadas, sino que varios de los ejemplos
en que se basan están muy lejos de ser
convincentes si se examinan cuidadosa-
mente. Las dudas que pude tener acerca
de publicar mis conclusiones han sido di-
sipadas, así lo siento, por un comentario
tradicional para las celebraciones del
Shabbos
23
, que dice: El sello de
HaKadosh Baruch Hu
24
es la Verdad.
Referencias
Bar-Natan, N; y McKay, B. []: Equidistant Letter
Sequences in Tolstoys War and peace, pu-
blicado en Internet en http://cs.anu.
edu.au/~bdm/dilugim/WNP. Más informa-
ción, así como enlaces a otros comentarios
sobre los códigos se pueden encontrar en
las páginas web del doctor Brendan McKay:
http://cs.anu.edu. au/~bdm/dilugim/
34
(Junio 1998) el escéptico
22
Barry Simon ha advertido a través del correo
electrónico a EL ESCÉPTICO que si bien cuan-
do escribió este artículo, en el segundo semes-
tre de 1997, era esceptico repecto a la validez
de los denominados códigos de la Tora, en la
actualidad, tras meses de estudio, tiene la cer-
teza de que toda la evidencia presentada hasta
ahora [por los proponentes] carece de legitimi-
dad. Un segundo artículo suyo sobre el asun-
to, titulado El caso contra los códigos, se pu-
blicará en septiembre en la revista Jewish Action.
(N. del T.)
23
Shabbos (ashkenazi): en sefardí, Shabat, la
fiesta semanal de los judíos. (N. del T.)
24
HaKados Baruch Hu: expresión hebrea utili-
zada por los ortodoxos para referirse a Dios sin
nombrar su nombre, lo que es considerado tabú.
Literalmente, quiere decir el sagrado que es ben-
dito. La frase mencionada por el autor podría
traducirse como: El sello de Dios es la Verdad;
es decir, Dios no miente. (N. del T.)
torah. html.
Drosnin, Michael [1997]: El código secreto de la
Biblia [The Bible code]. Trad. de Andy
Ehrenhaus. Editorial Planeta (Col. Docu-
mento]. Barcelona. 244 páginas.
Hagra []: A Commentary on the Book of Job. Je-
rusalén.
Margalioth, M [1961]: Encyclopedia of great men
of Israel. Joshua Chachik. Tel Aviv.
Ramban []: Commentary on Torah, Vajikra. 18:25.
Sternberg, S. [1997]: Snake oil for sale. Bible
Review (Agosto), 24-25.
Wigner, Eugene Paul; y Szanton, Andrew [1992]:
The recollections of Eugene P. Wigner.
Plenum. Nueva York.
Witztum, D; Rips, E.; y Rosenberg, Y. [1994]:
Equidistant Letter Sequences in the Book
of Genesis. Statistial Science, 9, ( 429-438.
Este artículo está disponible en Internet en
http://www.fortunecity. com/tattoine/
delany/11/genesis.html.
Witztum, D; Rips, E.; y Rosenberg, Y. [1997]:
Equidistant Letter Sequences in the Book
of Genesis: II. The relation to the text. Ma-
nuscrito.
Agradecimientos
A la hora de preparar este ensayo, el autor se
ha beneficiado de discusiones con muchas per-
sonas, demasiadas para ser incluidas en una
lista, aunque algunas destacan. El profesor Ilya
Rips, aun conociendo mi escepticismo, perdió
bastantes horas conmigo. A pesar de que tengo
dudas sobre las conclusiones de su investiga-
ción sobre los códigos, me he quedado con una
tremenda admiración por su personalidad y
dulce temperamento. Como siempre, mi rabi-
no, Rabbi Yitzhak Adlerstein, fue una fuente
invalorable. Agradezco las discusiones
−
en di-
recto o por correo electrónico
−
con el doctor Dror
Bar-Natan, los profesores Sylvain Cappell, Percy
Deift, Persi Diaconis, Menachem Friedman, Hillel
Furstenberg, Harold Gans, Alec Gindis, el pro-
fesor David Kazhdan, el doctor Brendan McKay,
y los profesores Shlomo Sternberg y Larry
Zalcman.
Nota
Este artículo se preparó para el número de di-
ciembre de 1997 de Jewish Action, la revista de
la Unión Ortodoxa, una de las principales orga-
nizaciones judías ortodoxas americanas. Fue
aceptado para su publicación en la forma en que
aparece aquí, pero posteriormente se decidió
posponer su aparición un trimestre, hasta mar-
zo del 1998, para permitir a los profesores Rips
y Witztum la preparación de una contestación.
Se reproduce con permiso expreso del autor.
Barry Simon es doctor en Física por la Universi-
dad de Princeton, vicepresidente de la Sociedad
Matemática Americana y profesor IBM de Mate-
máticas y Física Teórica del Instituto Tecnoló-
gico de California (CalTech).
Versión española de Javier Armentia.
Los matemáticos se pronuncian
Hacemos este pronunciamiento relativo a lo que se ha dado en llamar códigos de la Biblia o códigos de la
Tora. Reconocemos que mucha gente sincera toma este fenómeno seriamente, lo que nos empuja a
manifestarnos basándonos en lo que nuestra experiencia como matemáticos nos enseña acerca de la
evidencia que se dice apoya este presunto fenómeno.
Existe la creencia común en el público en general de que muchos matemáticos, estadísticos y otros
científicos consideran tales afirmaciones como creíbles. Esto es incorrecto. Por el contrario, la opinión
casi unánime de aquellos científicos que han estudiado la cuestión es que tal teoría no tiene fundamento.
Los firmantes de esta manifiesto han examinado la evidencia y no la han encontrado convincente en
absoluto.
Nos referimos en particular al artículo Equidistant letter sequences in the Book of Genesis, publica-
do en la revista Statistical Science en 1994. Este experimento adolece de problemas graves relativos
tanto a su ejecución como a la interpretación de sus conclusiones. Incluso sin tales dudas, no podría-
mos tomar afirmaciones tan extraordinarias seriamente sin una investigación mucho más sistemática y
cuidadosa. Investigación que no se ha realizado, como tampoco este trabajo ha supuesto hasta la fecha
un caso prima facie. Más aún, grupos de palabras como los que se mencionan en los libros de Witztum
y Drosnin y los llamados códigos mesiánicos son un fenómeno incontrolado; agrupaciones similares se
pueden encontrar en cualquier texto de longitud similar. Cualquier afirmación sobre las increíbles pro-
babilidades de aparición de tales agrupaciones es falsa, puesto que se calcula de manera contraria a las
reglas estándar de la probabilidad y la estadística.
Entre los abajo firmantes, algunos creen que la Tora fue escrita inspirada por Dios. No vemos conflic-
to alguno entre esta creencia y la opinión que expresamos aquí.
el escéptico (Junio 1998)
35
Dror Bar-Natan, profesor de Matemáticas de la Universi-
dad Hebrea, Jerusalén
Jay H. Beder, profesor asociado de Ciencias Matemáticas
de la Universidad de Wisconsin-Milwaukee.
Valentina M. Borok, profesora emérita de Matemáticas de
la Universidad Estatal de Kharkov, Ucrania.
Robert Brooks, professor de Matemáticas del Technion-
Instituto de Tecnología de Israel.
Gary A. Chase, profesor de Epidemiología y Bioestadística
de la Universidad de la Reserva del Oeste.
E.B. Davies, profesor de Matemáticas de la Universidad de
Londres.
Percy Deift, profesor de Matemáticas del Instituto Cou-
rant, Nueva York.
Persi Diaconis, profesor David Duncan de Ciencias Físi-
cas de la Universidad de Cornell.
Laurence S. Freedman, profesor de Estadística de la Uni-
versidad Bar-Ilan, Israel.
Fritz Gesztesy, profesor L.M. DeFoe de Matemáticas de la
Universidad de Missouri.
Sheldon Goldstein, profesor de Matemáticas de la Univer-
sidad Rutgers, New Jersey.
Rami Grossberg, profesor adjunto de Matemáticas de la
Universidad Carnegie Mellon, Pittsburgh.
Michael Hasofer, profesor emérito de Estadística de la Uni-
versidad de Nueva Gales del Sur, Sidney.
Tim Hesterberg, investigador de MathSoft/Statistical
Sciences, Seattle.
Svetlana Jitomirskaya, profesora adjunta de Matemáti-
cas de la Universidad de California.
Gil Kalai, profesor de Matemáticas de la Universidad He-
brea, Jerusalén.
Fima Klebaner, profesor adjunto de Matemáticas y esta-
dística de la Universidad de Melbourne.
David Klein, profesor de Matemáticas de la Universidad
del Estado de California.
Joel Lebowitz, profesor George William Hill de Matemáti-
cas y Física de la Universidad Rutgers, New Jersey.
Nati Linial, profesora de Informática de la Universidad He-
brea, Jerusalén.
Gary Lorden, profesor de Matemáticas del Instituto de Tec-
nología de California.
Todos los firmantes del manifiesto son doctores en Matemáticas o Estadística, o son miembros titulares
de un departamento universitario de Matemáticas o Estadística. Cualquier persona que cumpla estos
criterios y desee añadir su firma a este manifiesto puede enviar un mensaje de correo electrónico al
Brendan McKay, profesor de Informática de la Universi-
dad Nacional Australiana.
Tom Metzger, profesor de Matemáticas de la Universidad
de Pittsburgh.
Aaron Meyerowitz, profesor adjunto de Matemáticas de la
Universidad Atlántica de Florida.
Stephen D. Miller, profesor adjunto de Matemáticas de la
Universidad de Yale.
Amos Nevo, Departamento de Matemáticas del Technion-
Instituto de Tecnología de Israel.
John Allen Paulos, profesor de Matemáticas de la Univer-
sidad de Temple, Philadelphia.
Yehuda Pinchover, profesor adjunto de Matemáticas del
Technion-Instituto de Tecnología de Israel.
Alexander Pruss, Departamento de Filosofía de la Univer-
sidad de Pittsburgh.
Maurice Rojas, profesor adjunto de Matemáticas de la Uni-
versidad de Hong Kong.
Mary Beth Ruskai, profesora de Matemáticas de la Uni-
versidad de Massachussetts.
Jeremy Schiff, profesor del Departamento de Matemáti-
cas e Informática de la Universidad Bar-Ilan, Israel.
Gideon Schwarz, profesor de Estadística de la Universi-
dad Hebrea, Jerusalén.
Senya Shlosman, profesor de Matemáticas de la Universi-
dad de California.
Barry Simon, profesor IBM de Matemáticas y Física Teóri-
ca del Instituto de Tecnología de California.
Martha Simon, profesora de Matemáticas de la Universi-
dad del Estado de California.
J. Laurie Snell, profesor emérito de Matemáticas del Co-
legio Dartmouth, New Hampshire.
Terry Speed, profesor de Informática de la Universidad de
California.
Ian Wanless, investigador del Departamento de Matemá-
ticas de la Universidad de Melbourne.
Thomas Ward, Facultad de Matemáticas de la Universidad
de East Anglia, Norwich.
Henry Wolkowicz, profesor de Análisis Combinatorio y
Optimización de la Universidad de Waterloo, Ontario.
Doron Zeilberger, profesor de Matemáticas de la Universi-
dad de Temple , Philadelphia.