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Introducción

Hasta hace un par de años, cuando pensábamos 

en niños sin vacunar, casi sin querer nos imaginába-

mos un niño africano, o algún miembro de un pueblo 

aislado en mitad de la selva o las montañas. Quizás 

teníamos algún amigo que no había vacunado a sus 

hijos, y que supuestamente lo había hecho de mane-

ra informada, asegurándose (decía) de que esa deci-

sión era la mejor. Pero en cuestión de pocos meses 

empezamos a leer noticias relacionadas con muertes 

por sarampión (¡Sarampión! pero si de pequeños lo 

pasábamos muchos…y morían algunos): un niño ita-

liano con leucemia que había sido contagiado por sus 

hermanos no vacunados

1

; o más recientemente la jo-

ven francesa que no podía ser vacunada debido a su 

inmunodepresión

2

. Hay más: un brote que se originó 

en Disneylandia (California) y que en cuestión de un 

mes se había extendido a 125 casos repartidos en ocho 

Estados, correspondiendo más de la mitad de ellos a 

personas sin vacunar, casi todas por elección

3

.

En muchas de estas noticias, además, se habla de 

un mágico umbral del «95%», que no se puede cruzar 

hacia abajo sin que haya peligro de propagación del 

sarampión, afirman. 

Comenzamos a 

googlear

 y encontramos que el sa-

rampión está volviendo al primer mundo en general, 

y a Europa en particular, de manera alarmante (hemos 

pasado de 1346 casos en 2008 a 19 570 en 2017 y la 

situación es crítica en varios países

4

; Véase Fig. 1); 

descubrimos el movimiento antivacunas, que en las 

redes es bastante activo y puede dar la falsa sensación 

de tener gran número de seguidores; descubrimos el 

esfuerzo de médicos e investigadores (hay otro 

cien-

tíficos

 aquí al lado) que, con argumentos científicos 

y números en la mano, defienden la necesidad de la 

vacunación (aunque ellos son menos visibles en la 

red). 

5

-

6

Vamos a intentar contestar dos preguntas, siempre 

desde nuestro punto de vista matemático: 1) ¿Por qué 

algunas personas del primer mundo han decidido no 

vacunar(se)? ¿Es tan numeroso como ruidoso el mo

-

vimiento antivacunas?; y 2), ¿pueden decirnos las ma

-

temáticas cómo erradicar los casos de sarampión del 

mapa y por qué ese 92-95% de vacunados parece dar 

un 100% de seguridad?

Vamos a centrarnos en Europa, donde hay suficien

-

tes vacunas de sarampión para todos y donde, además, 

son gratuitas. Aunque antes de seguir debemos decir 

que cuando estábamos pensando sobre esto, leímos un 

libro delicioso que nos sirvió como guía y que quere-

mos recomendar desde ya a cualquier persona intere-

sada en profundizar más en este tema

7

.

¿Por qué algunas personas han decidido no va-

cunarse o no vacunar a sus hijos?

Tenemos a nuestro bebé sano en nuestros brazos, 

queremos lo mejor para él, y lo mejor es que ese niño 

siga lo más sano posible. Es decir, queremos tomar las 

decisiones que minimicen el riesgo de que a ese bebé 

le pase algo malo.

La vacuna

             

solidaria

Ana Granados y Ana Portilla, Dept. Matemáticas, Saint Louis University, Madrid 

Campus.

Las matemáticas demuestran la solidaridad de las vacunas, porque 93 = 100%

D

ossier

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Vamos a plantearnos este problema desde el punto 

de vista de la teoría de juegos, donde los jugadores (en 

este caso los padres) somos seres 

racionales

 que to-

mamos las 

mejores decisiones

 a partir de la 

informa-

ción

 que tenemos en ese momento. ¿Cómo podemos 

perder en este juego? Pues perdemos bien si nuestro 

bebé se contagia de la enfermedad para la que no le 

hemos vacunado, bien si la vacuna que le hemos pues-

to le provoca efectos secundarios. Queremos minimi-

zar la pérdida del juego. Si traducimos esta situación 

en una ecuación, que a los matemáticos es lo primero 

que nos sale, diríamos algo así: 

Pérdida = riesgo con-

tagio + riesgo efectos secundarios

. O para ponerlo 

más matemático aún, 

P = RC + RES

La pregunta real es cómo de grande es cada su-

mando. Cuando nos paramos a pensarlo y miramos a 

nuestro alrededor, normalmente no conocemos a tan-

tos niños que en los últimos años hayan enfermado 

de sarampión (incluso la mayor parte de nosotros no 

conocerá a ninguno… porque las vacunas cumplen su 

misión). Así que, la ecuación anterior ya se ha con-

vertido en 

P = 

RC

 + RES

Y parece obvio que la mejor decisión para la salud 

de nuestro hijo es no vacunarlo. Si además en junio 

del 2017 fuimos uno del millón de oyentes que escu-

chó el programa de radio «Levántate y Cárdenas», de 

Javier Cárdenas

8

, o uno de los más de diez millones 

que vio a Donald Trump en el tercer debate durante 

las elecciones primarias del Partido Republicano en 

septiembre del 2015

9

-

10

habremos sido informados 

de 

que la vacuna del sarampión puede provocar autismo. 

Si ante la duda suscitada buscamos por la red, vere-

mos que una investigación del médico inglés Andrew 

Wakefield publicada en 1999 por la prestigiosa revista 

The Lancet

 prueba esta afirmación

11

. Entonces, la lec-

tura de la ecuación se parecerá más a algo como 

P = 

RC

 + 

RES

 !!!! 

Y no vacunar a nuestro bebé sano parecerá no sólo 

la mejor decisión, sino casi la única sensata. 

¿Por qué RES parece grande o por qué si te ca-

sas en Kentucky matas a un pescador?

La historia del fraude de Wakefield, que proclamó 

haber descubierto una conexión entre la vacuna triple 

vírica (sarampión, paperas y rubeola) y el desarrollo 

de autismo es bien conocida y está muy bien docu-

mentada

12

-

13

. De hecho, la historia termina como el 

rosario de la aurora: 

The Lancet

 tiene que retirar el 

artículo por carecer de base científica y Wakefield es 

expulsado de la medicina en Inglaterra y acusado por 

el Consejo General de Medicina del Reino Unido de, 

entre otras cosas, haber sometido a niños con proble-

mas de desarrollo infantil a pruebas agresivas innece-

sarias.

El autor del artículo periodístico donde se desta-

pó este fraude, Brian Deer, publicó un libro sobre su 

investigación

14

.

 

Se supieron algunas cosas muy feas, 

como que en 7 de los 12 casos estudiados los trastor-

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Invierno 2018/19

nos habían aparecido 

antes

 de que los niños hubieran 

sido vacunados, y no después; o que un estudio de 

abogados había pagado a Wakefield para crear prue

-

bas e iniciar una demanda contra las compañías que 

fabricaban la vacuna

El  ex  doctor  Wakefield  sigue 

muy activo en el movimiento antivacunas de Estados 

Unidos. De hecho, y junto a otros tres prominentes 

miembros de este movimiento, se reunió con Donald 

Trump en un acto para recaudar fondos para el Parti-

do Republicano, meses antes de las declaraciones del 

candidato durante el debate de las primarias de dicho 

partido.

15

Una investigación desarrollada en EE.UU. demos-

tró rotundamente hace dos años que la vacuna del sa-

rampión, las paperas y la rubéola no es la responsable 

de los casos autismo. Se trata de las conclusiones de 

un estudio realizado en más de 95 000 niños nortea-

mericanos y que confirmó 

que dichas vacunas no 

se asocian a un mayor riesgo de trastorno del 

espectro autista

, ni siquiera en aquellos menores 

cuyos hermanos sufren esta patología.

16

Volvamos a las matemáticas para intentar entender 

por qué el sumando RES está tan magnificado por el 

movimiento antivacunas y por qué se difunde más el 

bulo de que la vacuna produce autismo que la infor-

mación real que lo desmiente.

Para empezar, la conexión vacuna-autismo no pa-

rece tan descabellada: es común que conozcamos a 

alguien que tenga un trastorno del espectro autista (la 

incidencia del TEA se estima en 1 de cada 100 naci-

mientos), y casi con seguridad le fue diagnosticado 

durante el segundo o tercer año de vida

17

. En la ma-

yoría de los países europeos y en Estados Unidos, la 

vacuna triple vírica se administra durante este mismo 

periodo

18

,

 

así que si hacemos un gráfico mental entre 

la edad en la que los niños 

desarrollaron

 autismo y 

aquella a la que fueron vacunados, posiblemente nos 

salga una correlación altísima. Y entonces es fácil que 

caigamos en la trampa de pensar que, si están 

correla-

cionados

, es porque una debe 

causar

 la otra. 

Si comparamos el número de gente que se ahoga 

tras caerse de un barquito de pesca con el número de 

matrimonios en el estado de Kentucky, veremos que 

están altamente correlacionados

19

 (¡con un índice del 

95%!, una barbaridad en matemáticas). Sin embargo, 

y para tranquilidad de los kentuckianos que estén pen-

sando en el matrimonio,

 

es obvio que el hecho de que 

sean más propensos a pasar por la vicaría no provoca, 

de ninguna manera, que se ahoguen más pescadores.

Es decir, 

correlación no implica causalidad

. Inclu-

so aunque la edad de detección del TEA y la de vacu-

nación estuvieran altamente correlacionadas, una no 

tendría por qué ser causa de la otra, y eso es justamen-

te lo que ocurre, como todos los trabajos científicos 

realizados hasta el momento afirman.

En esta época del 

Big Data

, no es difícil establecer 

correlaciones entre situaciones bien dispares. A veces 

estas  correlaciones  tienen  una  finalidad  simpática, 

como las que propone Tyler Vigen. Pero otras veces, 

la finalidad puede ser algo más siniestra, como cuan

-

do nos presentan datos (o no, a veces una afirmación 

sin más vale

20

) de aumento de inmigración en una 

zona correlacionados con datos de aumento de peli-

grosidad, e intentan producir la conclusión falaz de 

que el segundo seguro es causa del primero, a pesar 

de muchos estudios que evidencian la falsedad de esta 

relación

21

-

22

.

Vale, no existe relación alguna, pero muchos de 

nosotros hemos oído este argumento, el movimiento 

antivacunas parece seguir creciendo, y el número de 

personas que decide no vacunar a sus hijos del sa-

rampión parece ir en aumento, tal y como muestra el 

mapa del comienzo. ¿Nos dicen algo las matemáticas 

al respecto?

Pensemos en algunos nombres asociados al movi-

miento antivacunas que defienden que la triple vírica 

produce autismo: Jim Carrey, Jenny McCarthy, Alicia 

Silverstone, congresistas norteamericanos como Dan 

Burton, además de los ya mencionados Trump y Cár-

denas. Se trata de personas muy famosas, con capaci-

dad para hacerse oír en distintos foros (no solamente 

en canales dedicados a hablar de vacunas o autismo) 

El movimiento antivacunas es bastante activo en las redes 

y puede dar la falsa sensación de tener gran número de se-

guidores.

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Invierno 2018/19

y expresar sus ideas. Son 

influencers

 del movimiento, 

por así decirlo. El caso concreto de Trump fue des-

mentido por expertos en TEA

23

, pero no tuvo tanta 

repercusión.

 No solo eso. Antes, cuando queríamos información 

sobre salud (u otras cosas), preguntábamos al médi-

co. Ahora, y cada vez con mayor frecuencia, también 

buscaremos en internet. Un estudio

24

 introdujo los tér-

minos «

vaccination

» e «

immunisation

» en Google y 

observó que los primeros diez resultados devolvieron 

páginas antivacunas (vamos, estupendo). Un análisis 

de vídeos de YouTube sobre vacunación encontró que 

el 32% se oponía a ella y que estaban mejor clasifi

-

cados y tenían un mayor número de visitas que los 

provacuna

25

; el 43% de blogs en MySpace sobre va-

cunación la evaluaba de manera negativa, y refería a 

organizaciones críticas con las vacunas que, además, 

contenían información incorrecta.

El hecho de que la mayoría de la población siga 

vacunada indica que los antivacunas son muy pocos, 

pero tienen mucha voz, y pueden hacernos pensar a 

los demás que sus 

creencias son mayoritarias

 cuando 

están bien lejos de serlo. Estamos ante lo que se co-

noce como 

el espejismo

 

de la mayoría

26

, y queda muy 

bien explicado en el siguiente ejemplo

27

:

En la Figura 2 modelizamos una red de relaciones, 

por ejemplo, de un pequeño pueblo. Cada círculo re-

presenta una persona, y dos personas que se conocen 

están unidas por una línea. Los círculos azules sim-

bolizan personas que piensan que la vacuna del sa-

rampión produce autismo (

causalistas

, para abreviar); 

los círculos naranjas, a personas que no opinan así. Si 

un individuo se pregunta cuántos 

causalistas 

hay, lo 

razonable es que mire primero si sus amigos lo son. 

En el ejemplo concreto del pueblo de nuestro gráfico, 

se puede observar que la mayoría de los habitantes va 

a pensar que hay muchos, si únicamente se basa en 

su red de amistades para responder a esta pregunta. 

Pero esto es algo chocante, porque nosotros estamos 

viendo que, de hecho, la mayoría de los círculos son 

naranjas, es decir, 

no causalistas. 

La razón que expli-

ca este hecho es que los azules son 

influencers

, es de-

cir, individuos muy populares conocidos por todos los 

naranjas. La opinión de una minoría termina dando 

voz a la mayoría, y en algunas redes, la información 

sesgada a la que accedemos puede llevarnos a la con-

Fig. 1. Número de casos de sarampión en la UE entre el 1 de febrero de 2016 y el 31 de enero de 2017 (puntos rojos) y % de población vacunada (en tonos 

de verde). Figura: European Center for Disease Prevention and Control, pág. 2., https://ecdc.europa.eu/sites/portal/files/media/en/publications/Publications/27-

02-2017-RRA-Measles-Romania,%20European%20Union%20countries.pdf

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clusión errónea. En las redes sociales, la mayoría de 

las páginas están conectadas con páginas de opiniones 

similares, y las páginas más visitadas son también las 

más sugeridas. Por tanto, es posible pensar que nues-

tro pequeño pueblo del ejemplo anterior modeliza, en 

cierto sentido, las relaciones que se establecen en in-

ternet.

Mirando el tamaño de RC (Riesgo de Contagio) 

con las gafas correctas

Cuando al mirar la fórmula vemos un RC tan pe-

queñito, es porque estamos siendo víctimas de la 

ra-

cionalidad miope

. Es decir, obviamos el hecho de que 

la mayor parte de la gente de nuestro entorno está va-

cunada, y justamente por ello percibimos el RC de la 

ecuación así de pequeño. Si, basándonos en eso, todos 

tomáramos la decisión de no vacunar, comenzaría a 

haber mucha gente en nuestro entorno susceptible de 

contraer el virus y el riesgo de ser contagiados por uno 

de los infectados aumentaría. Es posible incluso que 

el tamaño de ese primer sumando no solo volviera al 

que le corresponde de verdad en la ecuación inicial, 

sino que se podría incluso hacer subjetivamente mu-

cho más grande. Esto es lo que el mapa que hemos 

visto al principio parece sugerir, y esto es lo que las 

matemáticas van a demostrar.

Para contestar a la pregunta de qué puede pasar si 

dejamos de vacunarnos, lo único que tenemos que ha-

cer es predecir el futuro. Es decir, utilizar lo que ya 

sabemos para pronosticar la respuesta. Esto es justa-

mente lo que hace un buen modelo matemático

28

.

Cada mañana laboral tenemos que elegir la ropa 

que nos pondremos. Para ello, cada uno tiene en cuen-

ta la información que ha acumulado hasta el momento 

(qué tipo de ropa hay en el armario, si va a desplazarse 

en transporte público o privado, si se experimentan 

grandes diferencias de temperatura entre el transporte 

y la calle, etc.); decide qué variables va a priorizar 

(se puede valorar mucho la comodidad y no dar tanta 

importancia a la diferencia de temperatura, por ejem-

plo). Además, también puede tener en cuenta otras 

cosas a la hora de decidir qué ropa ponerse, como si 

hoy habrá una reunión importante o si a la salida del 

Las vacunas no se asocian a un mayor riesgo de trastorno 

del espectro autista, ni siquiera en aquellos menores cuyos 

hermanos sufren esta patología.

Fig. 2. Modelización de una red de relaciones entre habitantes de un 

pequeño pueblo.

Fig. 3. Representación de la expansión de un hecho que sigue una función 

exponencial 2

m

.

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trabajo irá al gimnasio. Este es el modelo informal de 

cada uno, y está ajustado a nuestra experiencia pasada 

y los datos que tenemos. No le valdría, por ejemplo, a 

nuestro sobrino de cinco años. Además, cada día eva-

luamos el éxito de la elección de vestuario en función 

de lo cómodos que nos hemos encontrado o de cuánto 

frío hemos pasado, y esto permite ajustar y mejorar 

el modelo. Seguramente, tras más de veinte años con 

mañanas laborales, tendremos el modelo bastante per-

feccionado.

Un modelo matemático es un proceso que usa ma-

temáticas para representar, analizar y hacer prediccio-

nes sobre fenómenos del mundo real. Como en todo 

modelo  científico,  observamos  lo  que  ocurre  en  la 

realidad, recogemos datos, encontramos relaciones 

entre ellos, traducimos esas relaciones a ecuaciones 

matemáticas, predecimos lo que ocurrirá solucionan-

do esas ecuaciones, y finalmente validamos el modelo 

comparando la realidad con los resultados predichos, 

para poder ir ajustando el modelo hasta que el resulta-

do sea satisfactorio. Es un modelo científico, así que 

cualquiera podrá reproducirlo. 

Por ejemplo, en una fiesta que organiza nuestra hija 

en casa, observamos que durante el primer minuto 

hay 1 persona morena vestida de azul; en el segundo 

minuto, 2 personas, una morena y otra pelirroja, ves-

tidas ambas de azul; en el tercer minuto, 6 personas, 

3 morenas, 2 rubias y 1 pelirroja, todas vestidas de 

azul; y el cuarto minuto, 8 personas, todas morenas 

y todas vestidas de azul. Si estamos interesados en 

saber si vamos a tener que pedirle a algún vecino que 

nos deje trasladar la mitad de la fiesta a su casa, nos 

interesa predecir el número de personas que habrá el 

décimo minuto o el vigésimo; solo la información re-

lativa al número de personas es relevante, y en cam-

bio descartaremos el color de pelo o ropa. En estado 

de pánico, notamos que el número de invitados varía 

con el tiempo de manera que en el minuto 

hay 

2m 

personas. En lenguaje matemático, nuestro modelo 

propuesto es 

N(m) = 2m

. Ahora observaríamos qué 

ocurre durante los siguientes minutos y en el caso de 

que esta relación se siga 

casi siempre

 diremos que el 

modelo es válido y que, por tanto, en dos horas ha-

brá  120  invitados  y,  definitivamente,  necesitaremos 

varias casas vecinas. En otro caso, iremos ajustando 

el modelo. Obviamente, cuanto más datos tenga para 

validar mi modelo o más observaciones pueda hacer, 

más fiable será.

Casi siempre, los fenómenos que observamos es-

tán en cambio continuo, y lo que medimos es justa-

mente ese cambio. Por ejemplo, si volvemos al caso 

del sarampión, más que cuánta gente infectada hay 

en un momento concreto, nos puede interesar 

cómo 

está cambiando

 ese número de infectados, es decir, 

si está aumentando o no (y a qué ritmo), pues esto 

nos dará más información a la hora de valorar si, por 

ejemplo, podemos estar ante un peligro de epidemia y 

sabremos mejor cómo actuar. En matemáticas, la he-

Campaña de vacunación del HPV en colegios de Sao Paulo Brazil March 2014 (Foto: Pan American Health Organization PAHO) 

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rramienta que nos permite estudiar cómo cambia un 

sistema es la conocida 

derivada.

Un modelo de juguete y una poda de árboles

Si en lugar de una fiesta razonable como la de arri

-

ba hubiéramos organizado otra con la condición un 

poco loca de que el primer minuto llegara un invita-

do, el segundo viniera un amigo del invitado que ya 

estaba, el tercer minuto viniera un amigo nuevo por 

cada invitado que ya estuviera, y así sucesivamente, 

en 32 minutos tendríamos en casa a toda la población 

mundial, y la amistad con los vecinos se habría per-

dido en el minuto 5 o 6, más o menos. Resulta que 

lo que está pasando es que, cada minuto, el número 

de invitados se va 

doblando

. Mi modelo ahora sería 

N(m) = 2

m

es decir, está representado por la conocida 

función exponencial.

Pues así se comportaría nuestro sarampión, solo 

que multiplicando por 18 cada vez en lugar de por 2. 

Vamos a jugar un poco con un modelo muy simplifi

-

cado de cómo se propaga una enfermedad contagiosa, 

así, como para andar por casa

29

.

Cada enfermedad tiene asociado un 

número bá-

sico de reproducción

 denotado por 

R

0

 , que estima 

el número promedio de casos nuevos que genera un 

caso dado a lo largo de un periodo infeccioso

30

. En 

el caso de nuestra fiesta loca, 

R

0

=2 ; en el caso del 

sarampión,  

R

varía entre 12 y 18. 

Una manera muy visual de ver cómo está aumen-

tando el número de invitados en mi fiesta es usando 

un arbolito como el de la figura 3. Cada nodo da lugar 

a dos nuevas ramas y, como vemos, el árbol se hace 

rápidamente muy frondoso. 

Simplificando mucho las cosas, de cada nodo del 

árbol del sarampión

 brotarían 12 ramas en el me-

jor de los casos, y 18 en el peor (básicamente cier-

to, porque la probabilidad de contagio a personas no 

protegidas es del 90%). Si quisiéramos evitar que el 

número de ramas creciera descontroladamente, es de-

cir, si quisiéramos evitar que el sarampión se propa-

gara, de cada nodo deberíamos podar 11 en el primer 

caso y 17 en el segundo (ya hemos visto que, aunque 

dejásemos solo dos ramas, los números se irían de 

madre y se infectaría toda la población del planeta 

en un pispás). Claro, puestos a podar, ganas dan de 

podar todas las ramas y terminar de manera radical 

con el sarampión, ¿verdad? Sin embargo, aquí, 

podar

 

equivale a vacunar y, desgraciadamente, no todo el 

mundo puede ser vacunado (niños inmunodeprimi-

dos, personas con cáncer, embarazadas, etc.), así que 

nuestro modelo debe también reflejar esta realidad y 

para ello hay que dejar siempre una rama sin podar.

Así, este modelo tan de juguete nos dice que, para 

tener controlado el sarampión, deberíamos vacunar 

(inmunizar, podar) 11 de cada 12 ramas o 17 de cada 

18, es decir, entre el 92% y el 95% de la población.

Es matemático: 

la vacuna es solidaria

. Y esto es 

válido para todas las enfermedades para las que existe 

vacuna; el porcentaje de gente que necesita ser vacu-

nada para que 

todos

 estemos protegidos dependerá de 

lo grande que sea 

R

0

 , pero siempre podemos calcular-

lo, y, por tanto, erradicar enfermedades contagiosas 

para las que se disponga de vacuna. Este fenómeno se 

conoce como 

efecto rebaño

, y la idea que hay detrás 

es que cuando llueve, si hay un número suficiente de 

personas con sus paraguas abiertos, podremos cami-

nar sin mojarnos aunque nosotros no dispongamos de 

uno. Pero como en alguna zona haya poca densidad 

de paraguas, ahí, sin duda nos mojaremos.

Es verdad, todo esto lo estamos deduciendo de un 

modelo de juguete. ¡Vamos con el de verdad!

Modelo SIR-v, o cómo las matemáticas demues-

tran la solidaridad de la vacuna

El modelo SIR se propuso por primera vez en 

1927

31

y se ajusta muy bien a una enfermedad como 

el sarampión. Antes de seguir, queremos volver a re-

ferir al lector al capítulo 5 de [8]

 

para una explicación 

más detallada y muy clara de las matemáticas tras el 

modelo.

Dividimos la población de un determinado lugar (o 

de todo el mundo, da igual) en tres grupos: personas 

susceptibles 

de contagiarse de sarampión, personas 

infectadas

 y personas 

recuperadas

 (de ahí el imagi-

Un estudio introdujo los términos «

vaccination

» e «

immu-

nisation

» en Google y observó que los primeros diez resul-

tados devolvieron páginas antivacunas.

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nativo nombre de SIR). Por 

personas recuperadas

 

vamos a entender aquellas personas que ya han pa-

sado el sarampión y, o bien han salido de la enfer-

medad, o bien se han muerto (es una acepción algo 

morbosa de la palabra 

recuperado

, es cierto). Lo que 

este modelo nos propone es algo bien razonable, y 

hace hincapié en cómo la población de estos tres gru-

pos cambia con el tiempo (es decir, estamos hablando 

de derivadas). El número de recuperados aumentará 

solo con el de infectados; por otro lado, cada vez que 

un susceptible y un enfermo se encuentren, el prime-

ro podrá contagiarse, así que estos encuentros hacen 

que la población de susceptibles crezca; finalmente, 

la población de infectados aumentará tanto como la 

de susceptibles disminuya, y disminuirá tanto como 

aumente el grupo de recuperados.

Si traducimos este párrafo a lenguaje matemático y 

hacemos unos cuantos cálculos, estos nos dicen que 

la única forma que tenemos para controlar el aumento 

en el número de infectados (vamos, de controlar una 

epidemia) es reducir al máximo el número de per-

sonas susceptibles 

antes de que llegue el virus. 

No 

existe otra forma. Y la única manera de conseguirlo 

es vacunando.

Y, además, al igual que hacíamos en el modelo de 

juguete con la poda de árboles, en este modelo de ver-

dad, muy ajustado al sarampión, podemos cuantificar 

qué porcentaje

 tenemos que vacunar: al menos 

R

0

-1

R

0

 

¡justo lo que nos decía nuestro modelo de juguete!

Cómo conseguir que 95% = 100%. Y matemáti-

camente probado

Como una imagen vale más que mil palabras, ilus-

tramos los resultados que predice el modelo expuesto 

arriba con cuatro gráficos

32

 (FIG. 4). Vamos a con-

siderar una población de 100 000 habitantes, donde 

al principio no hay más que un infectado. En cada 

Fig. 4. Resultados del modelo para porcentajes de vacunación del 0% (A), 30% (B), 70% (C) y 93% (D), en una población de 100 000 personas. 

S: Personas susceptibles; I: Personas infectadas; R: Personas recuperadas.

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gráfico vemos tres curvas, y cada una de ellas va a 

representar la población de susceptibles, infectados y 

recuperados según van pasando los días. Lo que dife-

rencia un gráfico de otro es el porcentaje de población 

vacunada al principio: 0%; 30%; 70% y 93% respec-

tivamente.

Es interesante observar cómo no solo el máximo 

número de infectados (el 

pico

 de la gráfica azul) va 

siendo más bajo según aumenta el porcentaje de va-

cunados, sino que además tarda más tiempo en pro-

ducirse (con lo cual permite una reacción mayor ante 

epidemia) y que en el último gráfico no hay infectado 

alguno. Con una tasa de vacunación del 93%, 

todos 

estamos protegidos

, incluso ese 7% que no se vacunó.

Conclusión

El modelo SIR-v lleva años de datos recogidos, 

mejoras, ajustes, y validaciones con resultados de va-

cunaciones sistemáticas de población

33

. Vamos, que 

es un buen modelo, nos podemos fiar de él. 

Los gráficos de la Figura 4

 

nos ilustran qué ocurri-

rá si dejamos de vacunar. El brote de sarampión que 

crece en Europa (o en Estados Unidos, o Australia, 

o…) no es sino el «te lo dije» que las matemáticas nos 

están echando en cara. Y es que hemos demostrado 

que la vacuna es solidaria y que gracias a ella, 93 es 

igual a 100 (y… ¿en qué otras situaciones ganamos 

siete así, por la cara?).

Referencias:

(

enlaces verificados a enero de 2019)

1 https://www.elespanol.com/mundo/

europa/20170623/225977935_0.html, también https://

www.redaccionmedica.com/secciones/sanidad-hoy/muere-

un-nino-por-sarampion-contagiado-por-sus-hermanos-sin-

vacunar-5093

2 https://www.elperiodico.com/es/sanidad/20180711/

muerte-marine-eraville-sarampion-francia-

antivacunas-6936401

3 Measles outbreak--California, December 2014 - 

February 2015. Zipprich J, Winter K, Hacker J, et al. 

https://www.cdc.gov/mmwr/preview/mmwrhtml/mm6406a5.

htm. MMWR Morb Mortal Wkly Rep. 2015;64:153–154.

4 https://ecdc.europa.eu/en/measles?bid=PvfemqWx

AAQYOzosPJvnsosDnuaebV_7PlQZ1XBTokM&items_

per_page=5&nid=20411&pager_type=infinite_scroll&sort_

by=title&sort_order=ASC&tid%5B0%5D%5Btarget_id%5D

=83&type%5B1439%5D=1439&page=2

5 Comité Vacunas –AEP, @CAV_AEP 

6 Lucía, mi Pediatra, @luciapediatra, www.

luciamipediatra.com

7 Clara Grima Ruiz, Enrique Fernández Borja (2017) 

Las Matemáticas vigilan tu salud: Modelos sobre 

epidemias y vacunas

. El Café Cajal.

8 El País, junio 2017, «Javier Cárdenas propaga el bulo 

de que las vacunas causan autismo», https://elpais.com/

elpais/2017/06/07/hechos/1496855559_006331.html

9 GOP Debate USA, September 2015, https://www.

washingtonpost.com/video/politics/carson-trump-paul-

debate-vaccines-and-autism/2015/09/17/1f117b78-

5d4c-11e5-8475-781cc9851652_video.html?utm_

term=.939d95530db1

10 Tom Huddleston Jr, Octubre 2015, “The Republican 

debate completely smashed CNBC’s ratings record”, 

http://fortune.com/2015/10/29/cnbc-gop-debate/

11 A.J.Wakefield et al., 1998, RETRACTED: “Ileal-

lymphoid-nodular hyperplasia, non-specific colitis, and 

pervasive developmental disorder in children”, 

The Lancet

Vol. 351, issue 9103, P637-641. 

12 S.H.Murch et al, 2004, “Retraction of an 

interpretation”, 

The Lancet

, Vol. 363, issue 9411, P750.

13 Autism Speaks, 2015, “No MMR-Autism Link in 

Large Study of Vaccinated vs. Unvaccinated Kids”, https://

www.autismspeaks.org/science-news/no-mmr-autism-link-

large-study-vaccinated-vs-unvaccinated-kids

14 https://www.latercera.com/que-pasa/noticia/

periodista-destapo-fraude-cientifico-intento-vincular-una-

vacuna-autismo/388605/

15 Artículo de Andrew Buncombe, mayo 2018, 

“Trump claims vaccines and autism are liked but his own 

experts vehemently disagree”, 

The Independent

, https://

www.independent.co.uk/news/world/americas/trump-

vaccines-autism-links-anti-vaxxer-us-president-false-

vaccine-a8331836.html

16 A. Jain, J. Marshall, A. Buikema et al, 2015, “Autism 

Occurrence by MMR Vaccine Status Among US Children 

With Other Siblings With and Without Autism”, 

JAMA

313(15), P1534-1540, https://jamanetwork.com/journals/

jama/fullarticle/2275444

17 Confederación Autismo España, http://www.autismo.

org.es/sobre-los-TEA/trastorno-del-especto-del-autismo 

El brote de sarampión que crece en Europa (o en Estados 

Unidos, o Australia, o…) no es sino el «te lo dije» que las 

matemáticas nos están echando en cara.

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el esc

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y Autism Europe, http://www.autismeurope.org/about-

autism/prevalence-rate-of-autism/

 

18 Measles, Mumps and Rubella (MMR) Vaccination, 

Centers for Disease Control and Prevention, https://www.

cdc.gov/vaccines/vpd/mmr/public/index.html

19 Spurious correlations, http://www.tylervigen.com/

spurious-correlations

.

 Más en el libro de Tyler Vigen, 

Spurious Correlations

, 2015, Hachette Books. 

20 Véase, por ejemplo https://www.eldiario.es/

andalucia/NovusOrbis/delincuencia-inmigracion-

fenomenos-relacion_6_737086321.html, o también https://

www.larazon.es/historico/el-76-de-los-madrilenos-cree-

que-la-inmigracion-aumenta-la-delincuencia-PJLA_

RAZON_36419

21 «¿Han disparado los inmigrantes la delicuencia 

en Alemania?» https://www.elconfidencial.com/

mundo/2018-08-29/alemania-inmigrantes-ultraderecha-

delincuencia_1609203/

22 https://www.factcheck.org/2018/06/is-

illegal-immigration-linked-to-more-or-less-crime/

 

o también, https://www.eldiario.es/andalucia/

NovusOrbis/delincuencia-inmigracion-fenomenos-

relacion_6_737086321.html

23 Autistic Self Advocacy Network, September 2015, 

ASAN Statement on GOP Primary Debate Comments 

on Autism and Vaccination, https://autisticadvocacy.

org/2015/09/asan-statement-on-gop-primary-debate-

comments-on-autism-and-vaccination/

24 P. Davies, S. Chapman, J. Leask, 2002, 

“Antivaccination activists on the world wide web”, 

Arch Dis 

Child

; vol 87, 22-25

25 https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/

PMC6122668/#REF38, sección Technology and its effects 

on anti-vaccination movement

26 K. Lerman, X. Yan, X. Wu, (2015), “The 

Majority Illusion in Social Networks”, https://arxiv.org/

abs/1506.03022

27 K. Schaul, October 2015, “Majority Illusion: a quick 

puzzle to tell whether you know what people are thinking”, 

Independent

, science section, https://www.independent.

co.uk/news/science/majority-illusion-a-quick-puzzle-to-tell-

whether-you-know-what-people-are-thinking-a6689636.

html

28 Cathy O’Neil, 2017, 

Armas de destrucción 

matemática: cómo el big data aumenta la desigualdad y 

amenaza la democracia

 (capítulo 1), Capitan Swing Libros 

S.L

29 J. Gog, A. Conlan, “Life saving maths: How does 

vaccination work?” 

Motivate, maths enrichment for 

schools

, University of Cambridge, https://motivate.maths.

org/content/MathsHealth/Vaccination/

30 https://es.wikipedia.org/wiki/Ritmo_

reproductivo_b%C3%A1sico

31 https://en.wikipedia.org/wiki/

Kermack%E2%80%93McKendrick_theory

32 Gráficos generados en http://www.public.asu.

edu/~hnesse/classes/sir.html?Alpha=2.14&Beta=0

.14&initialS=100000&initialI=1&initialR=0&iters=30 

cambiando los parámetros de manera necesaria. https://

ibmathsresources.com/2014/05/17/modelling-infectious-

diseases/

33 F. Brauer, P. van den Driessche, J. Wu (Eds.), 

2008, 

Mathematical Epidemiology

, chapter 2, https://

www.springer.com/cda/content/document/cda_

downloaddocument/9783540789109-c1.pdf?SGWID=0-

0-45-532715-p173817706. O también https://mspace.

lib.umanitoba.ca/bitstream/handle/1993/32615/allotey_

clifford.pdf?sequence=1

Foto:Johnny Silvercloud, https://www.flickr.com/photos/johnnysilvercloud/32666033382/in/photolist-RLzXE7-Uka1NX/